HW 1
비고
- 문제는 직접 번역하여 오역이 있을 수 있습니다. 작성은 마크다운과 LaTex 수식 구문을 사용하여 작성하였습니다.
- 손글씨로 쓰는것 보단 몇배의 노력을 들이더라도 문서화 하는 것이 후일 복습이 더 용이할 것 같아 수일에 걸쳐 해당 방식으로 작성하였습니다.
- 직접 작성했다는 증거 자료로서 해당 문서를 이루는 실제 코드는 뒷쪽에 같이 동봉되어 있습니다.
- 문제 푸는 도중 질문이 두개 있었고, 각각 해당 문제에 표기해두었습니다.
과제
27. 다항식 $p(x)=6(x+3)+9(x+3)^5-5(x+3)^8-(x+3)^{11}$ 이 어떤 방법을 쓰면 컴퓨터로 효과적으로 풀수 있는지 설명하라.
왕 X를 $X=x+3$ 으로 잡을 때
$P(X-3)=6X+9X^5-5X^8-X^{11}$
$=X(6+9X^4-5X^7-X^{10})$
$=X(6+X^4(9-5X^3-X^6))$
$=X(6+X^4(9+X^3(-5-X^3)))$
이렇게 Nested multiplication 형태로 전개하면 더 효과적으로 컴퓨터에서 해결할 수 있습니다.
28. 약 4.25에서 $\sqrt[4]{4x-1}$ 의 테일러 급수식 두번째 항은?
테일러 급수식 $f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+...$에서 두번째 항 $f'(c)(x-c)$의 센터값 $c=4.25$일 때를 구합니다.
$$f'(x)=\frac{1}{4}(4x-1)^{\frac{1}{4}-1}\cdot4=(4x-1)^{-\frac{3}{4}}$$
$$f'(4.25)=(4*4.25-1)^{-\frac{3}{4}}=(2^4)^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{8}$$
따라서 답은 $\frac{1}{8}(x-4.25)$
30. $(1+x)^n$의 테일러 급수는 binomial theorem 으로도 알려져 있다. 해당 정리는 $x^2<1$에서 $(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+...$ 임을 보인다. 해당 함수의 테일러 급수 식을 유도하고 각각 $n=2, n=3, n=\frac{1}{2}$ 에서 그 형태를 보이라. 그다음 $n=\frac{1}{2}$의 형태를 이용하여 $\sqrt{1.0001}$ 을 소숫점 이하 15자리 정밀도로 반올림하여 나타내라.
$x^2<1$ → $-1<x<1$ → 센터값은 $c=0$
$f(c)=(1+c)^n=1$
$f'(c)=n(1+c)^{n-1}=n$
$f''(c)=n(n-1)(1+c)^{n-2}=n(n-1)$
이를 테일러 급수식 $f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+...$에 넣을시
$c=0$에서 $f(c)=1$, $f'(c)=n$, $f''(c)=n(n-1)$
$$f(x)=(1+x)^n=1+n(x-0)+\frac{n(n-1)}{2!}(x-0)^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}(x-0)^3+...$$
$$=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+...$$
이 유도됩니다.
- $n=2$일때
$$(1+x)^2=1+2(x-0)+\frac{2(2-1)}{2!}(x-0)^2+\frac{2(2-1)(2-2)}{3!}(x-0)^3...$$
$$=1+2x+x^2$$
- $n=3$일때
$$(1+x)^3=1+3x+\frac{3(3-1)}{2!}x^2+\frac{3(3-1)(3-2)}{3!}x^3+\frac{3(3-1)(3-2)(3-3)}{4!}x^4...$$
$$=1+3x+3x^2+x^3$$
- $n=\frac{1}{2}$ 일때
$$(1+x)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}x+\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2!}x^2+\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)}{3!}x^3+...$$
$$=1+\frac{1}{2}x+\frac{-\frac{1}{4}}{2!}x^2+\frac{\frac{3}{8}}{3!}x^3+...$$
$$=1+\frac{1}{2}x-\frac{x^2}{2^2\cdot2!}+\frac{3x^3}{2^3\cdot3!}+...$$
- 마지막 식을 이용한 $\sqrt{1.0001}$ 소수점 이하 14자리까지
답에는 영향이 없는 부분입니다. 교수님께서 decimal point를 10진수로 15자리까지이므로 소수점 이하 14자리까지라고 하셨지만, decimal point의 사전적 정의는 소수점이기에 번역하면 소수점 15자리라고 나오는데, 어느것이 맞는지 모르겠습니다.
소수점 이하 14자리까지 정확하려면 오차는 $\frac{1}{2}*10^{-14}$미만이여야 합니다.
$n=\frac{1}{2}$ 일때 유도한 식을 이용해 $\sqrt{1.0001}=(1+x)^{\frac{1}{2}}$ 로 생각할때 $x=10^{-4}$ 가 됩니다.
잘려나가는 첫째 항을 유도한 식 4번째 항으로 정하면 $x^3=(10^{-4})^3=10^{-12}$ 가 되어 오차가 12자리로 너무 큽니다.
따라서 잘려나가는 오차가 요구되는 정확도보다 작은 5번째 항부터 자르면 $10^{-16}$ 으로 문제의 요구사항을 만족할 수 있습니다.
이전에 유도한 식을 5번째 항까지 계산하진 않았으므로 이어서 계산을 해보면
$$=\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)(\frac{1}{2}-3)}{4!}(x-0)^4=\frac{(-1)(-3)(-5)}{4^2\cdot4!}x^4$$
가 됩니다.
32. 30번을 이용하여 $(1+x^2)^{-1}$ 의 급수식을 구하라.
유도한 식
$$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+...$$
에 $n$ 대신 -1을 넣고 $x$ 대신 $x^2$ 를 넣습니다.
$$= 1+(-1)x^2+\frac{(-1)(-1-1)(x^2)^2}{2!}+\frac{(-1)(-1-1)(-1-2)(x^2)^3}{3!}+...$$
$$=1-x^2+\frac{x^4}{2!}-\frac{6x^6}{3!}+...$$
34. 함수 $3x^2-7+cosx$ 의 테일러 급수식에서 $x^2$ 의 계수는 몇인가? (함수는 $x$ 의 거듭제곱으로 전개한다)
센터값이 없으니 $c=0$으로 간주합니다.
1강때 센터값을 안잡아주면 나쁜사람이라고 하였으니 킨케이드는 나쁜사람임이 증명되었다.
주어진 함수와 테일러 급수식에서 구해야되는 $x$의 계수가 똑같은데, 이런경우 함수 전체를 미분해서 푸는것도 가능하나 사서 고생하는 셈이 됩니다.
대신 $cos(x)$에서 테일러 급수 식이 $cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ...$ 임을 이용합니다.
이미 함수에서 $x^2$의 계수가 3이 주어졌고, $cosx$의 테일러 급수식에서 $x^2$의 계수가 $-\frac{1}{2!}$이므로
$$3-\frac{1}{2!}=\frac{5}{2}$$
답은 $\frac{5}{2}$ 입니다.
도저히 이해가 안가서 울프람 알파를 돌려본 결과도 동일합니다. $$-6 + \frac{5 x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \frac{x^8}{40320} + O(x^9)$$
여기서 교수님께 여쭙고 싶은게 있습니다. 이 결과를 볼 때, 비선형식을 선형식으로 유도할수 있게 해주는 테일러 급수식에 애초에 비선형식이 아닌 $3x^2$을 넣게 되면 어차피 선형식인 자기 자신 $3x^2$이 나오기 때문에 굳이 계산할 필요가 없는 것으로 이해하는 것이 맞습니까?
21.03.09 교수님 답변 $3x^2$는 선형식이 아니라 다항식. 테일러 급수는 비선형식 을 다항식으로 접근할수 있게 해주는 것이므로 다항식의 테일러 급수를 구하면 자기 자신이 나와야 함. 따라서 계산할 필요 없이 계수를 그대로 쓰는게 편함.
35. 약 $\frac{\pi}{4}$ 에서 함수 $sinx+cosx$ 의 테일러 급수식에서, 0이 아닌 세번째 항을 찾아라.
$c=\frac{\pi}{4}$
$f(x)=sinx+cosx$, $f(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
$f'(x)=cosx-sinx$, $f'(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=0$
$f''(x)=-sinx-cosx$, $f''(\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}$
$f'''(x)=-cosx+sinx$, $f'''(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=0$
$f''''(x)=sinx+cosx$, $f''''(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
이때 테일러 급수 식
$$f(x) = f(c) + f'(c)(x - c) + \frac{f''(c)(x - c)^2}{2!} + \frac{f'''(c)(x - c)^3}{3!} + ...$$
에 넣어보면
$$f(x)=f(c)+0+\frac{f''(c)(x - c)^2}{2!}+0+\frac{f''''(c)(x-c)^4}{4!}+...$$
여기서 0을 제외한 3번째 $\frac{f''''(c)(x-c)^4}{4!}$에 센터값 대입시
답은 $\frac{\sqrt{2}}{4!}(x-\frac{\pi}{4})^4$ 이 됩니다.
36. 테일러 정리를 이용할 때, $\mid x\mid <\frac{1}{2}$을 만족하는 $x$ 전체 범위에서 $\mid cosx-(1-\frac{x^2}{2})\mid$가 어떤 값보다 작거나 같다고 확신할 수 있는가?
$\mid x\mid <\frac{1}{2}$ 범위처럼 주어질시 눈치있게 센터값을 중앙값으로 잡습니다. $c=0$
$cosx$에서 테일러 급수식
$$cos(x) = 1 + 0 - \frac{x^2}{2!} + 0 + \frac{x^4}{4!}+ ...$$
에서 자를때 문제에 나온 $\frac{x^2}{2}$ 의 다음항 $0x^3$부터 자르지 말고 한항 더 뒤, $x^4$부터 잘라야 더 정확합니다.
테일러 정리에 따르면 잘려나가는 첫항의 절댓값 $\mid \frac{f''''(0)(x-0)^4}{4!}\mid$ 이 잘려나가는 전체의 값과 같은 거시기가 있습니다.
여기서 $\mid a*b최댓값\mid \leq\mid a최댓값\mid *\mid b최댓값\mid$ 임을 이용하여
$$\mid \frac{f''''(0)(x-0)^4}{4!}\mid <\frac{\mid f''''(거시기)최대\mid \cdot\mid (x-0)^4 최대\mid }{4!}$$
($x$ 범위가 $\leq$가 아니라 $<$로 주어졌으므로 최댓값에서도 똑같이 적용)
이때 $f''''(x)=\mid cosx\mid \leq1$으로 아무리 커봐야 절댓값이 1로 최대 1이 될 수 있고, $x=\frac{1}{2}$일 때 $\mid (x-0)^4 \mid$ 도 최대값 $(\frac{1}{2})^4$를 갖습니다.
따라서 답은 $\frac{1*(\frac{1}{2})^4}{4!}$ 입니다.
부록
이하는 서식이 빠진 실제 문서 모습입니다. 순수하게 증거 자료로서 위와 내용은 같습니다.
## HW 1
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#### 비고
- 작성에 사용한 문제는 직접 번역하여 오역이 있을 수 있습니다. 작성은 마크다운과 LaTex 수식 구문을 사용하여 작성하였습니다.
- 손글씨로 쓰는것 보단 몇배의 노력을 들이더라도 문서화 하는 것이 후일 복습이 더 용이할 것 같아 수일에 걸쳐 해당 방식으로 작성하였습니다.
- 직접 작성했다는 증거 자료로서 해당 문서를 이루는 실제 코드는 뒷쪽에 같이 동봉되어 있습니다.
- 문제 푸는 도중 질문이 두개 있었고, 각각 해당 문제에 표기해두었습니다.
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#### 과제
**27. 다항식 $p(x)=6(x+3)+9(x+3)^5-5(x+3)^8-(x+3)^{11}$ 이 어떤 방법을 쓰면 컴퓨터로 효과적으로 풀수 있는지 설명하라.**
왕 X를 $X=x+3$ 으로 잡을 때
$P(X-3)=6X+9X^5-5X^8-X^{11}$
$=X(6+9X^4-5X^7-X^{10})$
$=X(6+X^4(9-5X^3-X^6))$
$=X(6+X^4(9+X^3(-5-X^3)))$
이렇게 Nested multiplication 형태로 전개하면 더 효과적으로 컴퓨터에서 해결할 수 있습니다.
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**28. 약 4.25에서 $\sqrt[4]{4x-1}$ 의 테일러 급수식 두번째 항은?**
테일러 급수식 $f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+...$에서 두번째 항 $f'(c)(x-c)$의 센터값 $c=4.25$일 때를 구합니다.
$$f'(x)=\frac{1}{4}(4x-1)^{\frac{1}{4}-1}\cdot4=(4x-1)^{-\frac{3}{4}}$$
$$f'(4.25)=(4*4.25-1)^{-\frac{3}{4}}=(2^4)^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{8}$$
따라서 답은 $\frac{1}{8}(x-4.25)$
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**30. $(1+x)^n$의 테일러 급수는 binomial theorem 으로도 알려져 있다. 해당 정리는 $x^2<1$에서 $(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+...$ 임을 보인다. 해당 함수의 테일러 급수 식을 유도하고 각각 $n=2, n=3, n=\frac{1}{2}$ 에서 그 형태를 보이라. 그다음 $n=\frac{1}{2}$의 형태를 이용하여 $\sqrt{1.0001}$ 을 소숫점 이하 15자리 정밀도로 반올림하여 나타내라.**
$x^2<1$ → $-1<x<1$ → 센터값은 $c=0$
$f(c)=(1+c)^n=1$
$f'(c)=n(1+c)^{n-1}=n$
$f''(c)=n(n-1)(1+c)^{n-2}=n(n-1)$
이를 테일러 급수식 $f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+...$에 넣을시
$c=0$에서 $f(c)=1$, $f'(c)=n$, $f''(c)=n(n-1)$
$$f(x)=(1+x)^n=1+n(x-0)+\frac{n(n-1)}{2!}(x-0)^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}(x-0)^3+...$$
$$=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+...$$
이 유도됩니다.
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- $n=2$일때
$$(1+x)^2=1+2(x-0)+\frac{2(2-1)}{2!}(x-0)^2+\frac{2(2-1)(2-2)}{3!}(x-0)^3...$$
$$=1+2x+x^2$$
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- $n=3$일때
$$(1+x)^3=1+3x+\frac{3(3-1)}{2!}x^2+\frac{3(3-1)(3-2)}{3!}x^3+\frac{3(3-1)(3-2)(3-3)}{4!}x^4...$$
$$=1+3x+3x^2+x^3$$
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- $n=\frac{1}{2}$ 일때
$$(1+x)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}x+\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2!}x^2+\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)}{3!}x^3+...$$
$$=1+\frac{1}{2}x+\frac{-\frac{1}{4}}{2!}x^2+\frac{\frac{3}{8}}{3!}x^3+...$$
$$=1+\frac{1}{2}x-\frac{x^2}{2^2\cdot2!}+\frac{3x^3}{2^3\cdot3!}+...$$
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- 마지막 식을 이용한 $\sqrt{1.0001}$ 소수점 이하 14자리까지
> 답에는 영향이 없는 부분입니다. 교수님께서 decimal point를 10진수로 15자리까지이므로 소수점 이하 14자리까지라고 하셨지만, decimal point의 사전적 정의는 소수점이기에 번역하면 소수점 15자리라고 나오는데, 어느것이 맞는지 모르겠습니다.
소수점 이하 14자리까지 정확하려면 오차는 $\frac{1}{2}*10^{-14}$미만이여야 합니다.
$n=\frac{1}{2}$ 일때 유도한 식을 이용해 $\sqrt{1.0001}=(1+x)^{\frac{1}{2}}$ 로 생각할때 $x=10^{-4}$ 가 됩니다.
잘려나가는 첫째 항을 유도한 식 4번째 항으로 정하면 $x^3=(10^{-4})^3=10^{-12}$ 가 되어 오차가 12자리로 너무 큽니다.
따라서 잘려나가는 오차가 요구되는 정확도보다 작은 5번째 항부터 자르면 $10^{-16}$ 으로 문제의 요구사항을 만족할 수 있습니다.
이전에 유도한 식을 5번째 항까지 계산하진 않았으므로 이어서 계산을 해보면
$$=\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)(\frac{1}{2}-3)}{4!}(x-0)^4=\frac{(-1)(-3)(-5)}{4^2\cdot4!}x^4$$
가 됩니다.
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**32. 30번을 이용하여 $(1+x^2)^{-1}$** 의 급수식을 구하라.
유도한 식
$$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+...$$
에 $n$ 대신 -1을 넣고 $x$ 대신 $x^2$ 를 넣습니다.
$$= 1+(-1)x^2+\frac{(-1)(-1-1)(x^2)^2}{2!}+\frac{(-1)(-1-1)(-1-2)(x^2)^3}{3!}+...$$
$$=1-x^2+\frac{x^4}{2!}-\frac{6x^6}{3!}+...$$
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**34. 함수 $3x^2-7+cosx$ 의 테일러 급수식에서 $x^2$ 의 계수는 몇인가? (함수는 $x$ 의 거듭제곱으로 전개한다)**
센터값이 없으니 $c=0$으로 간주합니다.
> 1강때 센터값을 안잡아주면 나쁜사람이라고 하였으니 킨케이드는 나쁜사람임이 증명되었다.
주어진 함수와 테일러 급수식에서 구해야되는 $x$의 계수가 똑같은데, 이런경우 함수 전체를 미분해서 푸는것도 가능하나 사서 고생하는 셈이 됩니다.
대신 $cos(x)$에서 테일러 급수 식이 $cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ...$ 임을 이용합니다.
이미 함수에서 $x^2$의 계수가 3이 주어졌고, $cosx$의 테일러 급수식에서 $x^2$의 계수가 $-\frac{1}{2!}$이므로
$$3-\frac{1}{2!}=\frac{5}{2}$$
답은 $\frac{5}{2}$ 입니다.
도저히 이해가 안가서 울프람 알파를 돌려본 결과도 동일합니다.
$$-6 + \frac{5 x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \frac{x^8}{40320} + O(x^9)$$
> 여기서 교수님께 여쭙고 싶은게 있습니다. 이 결과를 볼 때, 비선형식을 선형식으로 유도할수 있게 해주는 테일러 급수식에 애초에 **비선형식이 아닌** $3x^2$을 넣게 되면 어차피 선형식인 자기 자신 $3x^2$이 나오기 때문에 굳이 계산할 필요가 없는 것으로 이해하는 것이 맞습니까?
> > 21.03.09 교수님 답변
> $3x^2$는 선형식이 아니라 다항식. 테일러 급수는 **비선형식** 을 **다항식**으로 접근할수 있게 해주는 것이므로 다항식의 테일러 급수를 구하면 자기 자신이 나와야 함. 따라서 계산할 필요 없이 계수를 그대로 쓰는게 편함.
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**35. 약 $\frac{\pi}{4}$ 에서 함수 $sinx+cosx$ 의 테일러 급수식에서, 0이 아닌 세번째 항을 찾아라.**
$c=\frac{\pi}{4}$
$f(x)=sinx+cosx$, $f(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
$f'(x)=cosx-sinx$, $f'(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=0$
$f''(x)=-sinx-cosx$, $f''(\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}$
$f'''(x)=-cosx+sinx$, $f'''(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=0$
$f''''(x)=sinx+cosx$, $f''''(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
이때 테일러 급수 식
$$f(x) = f(c) + f'(c)(x - c) + \frac{f''(c)(x - c)^2}{2!} + \frac{f'''(c)(x - c)^3}{3!} + ...$$
에 넣어보면
$$f(x)=f(c)+0+\frac{f''(c)(x - c)^2}{2!}+0+\frac{f''''(c)(x-c)^4}{4!}+...$$
여기서 0을 제외한 3번째 $\frac{f''''(c)(x-c)^4}{4!}$에 센터값 대입시
답은 $\frac{\sqrt{2}}{4!}(x-\frac{\pi}{4})^4$ 이 됩니다.
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**36. 테일러 정리를 이용할 때, $\mid x\mid <\frac{1}{2}$을 만족하는 $x$ 전체 범위에서 $\mid cosx-(1-\frac{x^2}{2})\mid$가 어떤 값보다 작거나 같다고 확신할 수 있는가?**
$\mid x\mid <\frac{1}{2}$ 범위처럼 주어질시 눈치있게 센터값을 중앙값으로 잡습니다. $c=0$
$cosx$에서 테일러 급수식
$$cos(x) = 1 + 0 - \frac{x^2}{2!} + 0 + \frac{x^4}{4!}+ ...$$
에서 자를때 문제에 나온 $\frac{x^2}{2}$ 의 다음항 $0x^3$부터 자르지 말고 한항 더 뒤, $x^4$부터 잘라야 더 정확합니다.
테일러 정리에 따르면 잘려나가는 첫항의 절댓값 $\mid \frac{f''''(0)(x-0)^4}{4!}\mid$ 이 잘려나가는 전체의 값과 같은 *거시기*가 있습니다.
여기서 $\mid a*b최댓값\mid \leq\mid a최댓값\mid *\mid b최댓값\mid$ 임을 이용하여
$$\mid \frac{f''''(0)(x-0)^4}{4!}\mid <\frac{\mid f''''(거시기)최대\mid \cdot\mid (x-0)^4 최대\mid }{4!}$$
($x$ 범위가 $\leq $가 아니라 $<$로 주어졌으므로 최댓값에서도 똑같이 적용)
이때 $f''''(x)=\mid cosx\mid \leq1$으로 아무리 커봐야 절댓값이 1로 최대 1이 될 수 있고, $x=\frac{1}{2}$일 때 $\mid (x-0)^4 \mid $ 도 최대값 $(\frac{1}{2})^4$를 갖습니다.
따라서 답은 $\frac{1*(\frac{1}{2})^4}{4!}$ 입니다.